# Taylor Series Explained

How a Taylor series rebuilds a sine wave from simple pieces chosen at one point, told on a slate board with a gold wire and glass building blocks

By Yang Song

Topic: Maths

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## Transcript

### 1. 泰勒级数：用积木搭出曲线

画板上这条金色的波浪叫正弦曲线，它像荡秋千一样一上一下地起伏。泰勒级数是一个奇妙的办法：只看曲线上的一个点，就能用最简单的“积木”把整条曲线搭出来。

拖动画板以外的地方可以转动视角，滚轮或双指可以拉近。

### 2. 只看一个点

先选一个起点，就是这颗穿在金线上的发光珠子。我们只问它几个问题：它有多高？朝哪边倾斜？弯得有多厉害？弯曲又怎样变化？每个答案决定一块积木，答案是零的那块就空着。

数学里把“倾斜得有多快”叫作导数。泰勒级数用的就是起点上的一串导数。

### 3. 第一块积木：一根直线

凑近看，珠子附近的波浪几乎是直的。顺着它倾斜的方向画一根直线，就是第一块积木。离珠子越近，直线越准；走远了，它就和波浪分开了。

画板上一格是1。离珠子0\.1格的地方，直线只差约0\.17%；离珠子1格的地方，就差了约19%。

### 4. 第二块积木：加一点弯

直线不会拐弯。在珠子这里，波浪的高度和弯曲刚好都是零，所以下一块用上的积木描述“弯曲怎样变化”。它在珠子附近几乎为零，越往外越大，正好把直线拉回波浪上。按下按钮，看看青色曲线能贴多远。

托盘里的小方块就是用上的积木：青色的往上加，珊瑚色的往下减，空格表示那一块是零。正弦波的积木总是一加一减，轮流交替。

### 5. 积木越多，贴得越远

每多加一块积木，青色曲线和金色波浪贴合的范围就更宽，贴合的地方画板会微微发亮。拖动滑块，增加或减少积木，看看亮起的区域怎样变化。

用上四块积木时，在一个波峰加一个波谷那么宽的范围里，误差都不到0\.08。

### 6. 走远了就会失控

积木的数量有限时，离珠子越远，误差就越大，最后青色曲线会冲出画板。真正的波浪却永远只在一条窄窄的范围里起伏。积木越多，冲出去的地方就离得越远。

只用三块积木时，往右走约4\.7格，波浪正在最低点−1，搭出的曲线却在6\.6左右，足足差了7\.6。

### 7. 换一个起点

起点不一定要在正中间。按住发光的珠子，左右拖动，让它沿着金线滑动，积木会围绕新的起点重新搭起来。不管珠子停在哪里，它的附近总是贴得最准。

起点正好在正中间的这种情况，有个专门的名字，叫麦克劳林级数。

### 8. 无穷多块积木

如果积木一直加下去、永不停止，正弦波的泰勒级数在每一个地方都和波浪完全一样。计算器和电脑最擅长加法和乘法，类似的积木思路帮助它们算出正弦这样的函数值。

14世纪的印度数学家马德哈瓦已经找到了正弦的这种级数；英国数学家布鲁克·泰勒在1715年发表了通用的方法。