# 特斯拉飞行汽车物理题解题步骤

By Yao Jaa

Topic: Physics & Chemistry

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## Guide

### 1. 一场飞车演示

题目里的特斯拉飞车先贴着弯墙内侧开上 22 米高的 D 点，倒挂着离开轨道，在空中翻正，最后喷气轻轻落在 G 点。我们先看它走完全程，再按它经过的顺序解开四个小问。拖动画面可以转着看。

这是题目设定的理想模型：g 取 10 m/s²，忽略空气阻力。

### 2. 先算出 D 有多高

轨道由三段接成：半径 4 米的四分之一圆弧 AB（蓝），10 米长的竖直段 BC（黄），半径 8 米的四分之一圆弧 CD（粉）。从地面到 D 的高度就是三段竖直高度相加：4 \+ 10 \+ 8 = 22 米。读数屏显示累计高度，这个数后面会反复用到。

H = r \+ ℓ \+ R = 4\.0 \+ 10\.0 \+ 8\.0 = 22 m

### 3. 第\(1\)问：牵引力做多少功

汽车的速率一直是 4 米每秒，所以动能没有变。吸附力和支持力都垂直于轨道，不做功。于是牵引力做的功正好等于把 2 吨重的车举高 22 米需要的能量，约 44 万焦耳。读数屏显示累计做功（单位千焦）。

W = mgH = 2\.0×10³ × 10 × 22 J = 4\.4×10⁵ J

### 4. 第\(1\)问：最大功率

匀速行驶时，黄色的牵引力要正好抵消红色重力沿轨道方向的那部分。轨道越陡，这部分越大，到竖直段 BC 就等于整个重力 2×10⁴ 牛。功率等于力乘速度，所以最大功率出现在 BC 段：8×10⁴ 瓦。读数屏单位是千瓦。

P\_max = mg·v₀ = 2\.0×10⁴ N × 4\.0 m/s = 8\.0×10⁴ W

### 5. 第\(3\)问：吸附力至少多大

牵引力靠轮胎和墙面的摩擦，而摩擦最多是支持力的一半（μ = 0\.5）。竖直段上青色的吸附力就等于支持力，至少要 4×10⁴ 牛。到上方圆弧，重力还会把车从墙上往下拽。拖动滑块沿轨道移动汽车，读数屏显示该处需要的吸附力（千牛），在粉色标记处最大。

CD 段要求 S ≥ mg\(2cosφ \+ sinφ\) − mv₀²/R，最大在 tanφ = 1/2（φ ≈ 26\.6°）：S\_min = √5·mg − mv₀²/R ≈ 4\.07×10⁴ N

### 6. 第\(2\)问：空中翻正

离开 D 后车只受重力，同时绕纵轴翻转半圈，也就是 π 弧度。角速度表示每秒转过多少弧度；图 2 三角形下的面积就是转过的角度，所以 ½ × T × ω\_m = π。取 T = 1 秒，峰值角速度约 6\.28 弧度每秒（读数屏），右侧小图里亮起的面积就是已转过的角度。

ω\_m = 2π/T；角加速度大小 β = ω\_m ÷ \(T/2\) = 4π/T²

### 7. 第\(2\)问：乘员受到的力

质心在自由下落，可乘员坐在离纵轴 0\.5 米的地方跟着转圈，座椅和安全带必须拉着他转向、加速（紫色箭头）。两种加速度互相垂直，在角速度最大时合起来最大：T = 1 秒时约 1\.66×10³ 牛，约是他体重的两倍。所以“乘员必定不受合力”这句话是错的。

Q\_max = m\_p·ρ·√\(ω\_m⁴ \+ β²\) = 160π√\(π²\+1\)/T² N，T = 1 s 时 ≈ 1\.66×10³ N

### 8. 第\(4\)问：什么时候点火

翻正结束（1 秒）后才能点火，一点火就喷到落地。推力最多 3mg，减速最多 2g；喷气最多 1 秒。点火太早，剩下的路太长，1 秒内停不下来；点火太晚，减速要超过 2g。绿色窗口夹在约 1\.66 秒和 1\.71 秒之间，读数屏显示时间（秒）。

点火时 v = gt、h = 22 − 5t²。τ = 2h/v ≤ 1 s 得 t₋ = \(√18\.6 − 1\)/2 ≈ 1\.66 s；v²/2h ≤ 2g 得 t₊ = √\(44/15\) ≈ 1\.71 s

### 9. 第\(4\)问：最小推力与喷气做的功

越早点火，需要的减速越小，所以最小推力出现在 t₋：约 5\.3×10⁴ 牛，是车重的 2\.66 倍（蓝色箭头对比红色重力）。从 D 到落地，水平速度不变、竖直速度归零，动能没变，所以喷气做的功正好抵消重力做的功：−4\.4×10⁵ 焦，与点火时刻无关。

F\_min = mg\(1 \+ t₋/1 s\) ≈ 5\.3×10⁴ N；W\_F = −mgH = −4\.4×10⁵ J

### 10. 答案一览

\(1\) W = 4\.4×10⁵ J，P\_max = 8\.0×10⁴ W。\(2\) ω\_m = 2π/T，Q\_max = 160π√\(π²\+1\)/T² N，T = 1 s 时约 1\.66×10³ N，那句话错误。\(3\) S\_min ≈ 4\.07×10⁴ N，在 tanφ = 1/2 处。\(4\) t₋ ≈ 1\.66 s，t₊ ≈ 1\.71 s，最小推力约 5\.3×10⁴ N，W\_F = −4\.4×10⁵ J，与点火时刻无关。

整道题只用到两件工具：能量守恒和牛顿第二定律。